Dies ist also gemeint? Ich bevorzuge das Doppelverhältnis der Sozialwissenschaften
tschüss harry
WIKIPEDIA: Das Doppelverhältnis
Für vier Punkte A,B,S,T einer projektiven Gerade g: \;<x\vec u+y\vec v> mit den zugehörigen homogenen Koordinaten (a_1,a_2),(b_1,b_2),(s_1,s_2),(t_1,t_2) heißt
(A,B;S,T):= \frac{\begin{vmatrix} s_1 & a_1\\ s_2 & a_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} b_1 & s_1\\ b_2 & s_2 \end{vmatrix}}:\frac{\begin{vmatrix} t_1 & a_1\\ t_2 & a_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} b_1 & t_1\\ b_2 & t_2 \end{vmatrix}}= \frac{s_1a_2-s_2a_1}{b_1s_2-b_2s_1}:\frac{t_1a_2-t_2a_1}{b_1t_2-b_2t_1}
das Doppelverhältnis von A,B,S,T.
Eigenschaften des Doppelverhältnisses:
(B,A;S,T)=\tfrac{1}{(A,B;S,T)} (Vertauschen von A,B),
(A,B;T,S)=\tfrac{1}{(A,B;S,T)} (Vertauschen von S,T),
(B,A;T,S)=(A,B;S,T)\ ,
(S,T;A,B)=(A,B;S,T)\ .
Das Doppelverhältnis ist gegenüber einem Basiswechsel invariant. (Siehe Regeln für Determinanten.)
Sind die vier Punkte vom Fernpunkt \infty verschieden, lassen sie sich mit homogenen Koordinaten so beschreiben, dass a_2=b_2=s_2=t_2=1 ist. In diesem Fall ergibt sich das (affine) Doppelverhältnis (s.o.)
(A,B;S,T)=\tfrac{s_1-a_1}{b_1-s_1}:\tfrac{t_1-a_1}{b_1-t_1} \ .
Durch eine geeignete Koordinatentransformation lässt sich immer erreichen, dass
A=<\vec u>, B=<\vec v>, S=<\vec u + \vec v>, T=<x\vec u + \vec v> ist. In diesem Fall gilt (A,B;S,T)= x \ .
