Wenn man z.B. für die Klasse E von 102 gestellten Fragen ausgeht und davon 73% richtig beantworten muß, dann müssen also 75 Fragen von 102 richtig beantwortet werden.
Ferner ist es so, daß jeweils 4 Auswahlmöglichkeiten für jede einzelne Frage bestehen.
Man kann nun mit Hilfe der Binomialkoeffizienten die Wahrscheinlichkeit berechnen, 75 von 102 Fragen richtig zu beantworten, wenn man zufällig ankreuzt. Insofern ist hier die Relation zum Lottospielen zu sehen.
Die Berechnung erfolgt in zwei Stufen: Wahrscheinlichkeiten und Kombinationen.
(1) Wahrscheinlichkeiten:
Wenn man 75 von 102 richtig beantworten muß, kann man also 102-75=27 falsch beantworten.
Die Wahrscheinlichkeit P für jede einzelne beträgt 1/4 für richtig (und 3/4 für falsch).
Die Wahrscheinlichkeit für die 75 (richtigen) beträgt:
1/4 * 1/4 * 1/4 * ... 1/4 (75 mal 1/4)
Die Wahrscheinlichkeit für die 27 (falschen) beträgt:
3/4 * 3/4 * 3/4 * ... 3/4 (27 mal 3/4)
Berechnung:
(1/4)^75 * (3/4)^27 = 0,25^75 * 0,75^27 = 2,97E-49
(2) Kombinationen
Da es egal ist, welche 75 der 102 richtig sind, ist die Berechnung wie folgt:
102 * 101 * 100 * ... 28 geteilt durch 1 * 2 * 3 * ... 75
was man schreiben kann:
102 über 75 = 102! / 27! * 75! = 3,55902E+24
Ergebnis:
Kombinationen * Wahrscheinlichkeiten:
3,55902E+24 * 2,97E-49 = 1,05557E-24
Das ist eine Zahl mit 24 Nullen hinter dem Komma.
Lottospielen ist erheblich erfolgversprechender...
(Falls ich mich nicht verrechnet habe.)
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Zur Veranschaulichung der dahinterstehenden Logik eine Rechnung mit kleineren Zahlen.
Nehmen wir an, im Jahre 2020 wird die Prüfung aufgrund des nicht enden wollenden Gejammers der Prüflinge weiterhin vereinfacht, und es sind aus 5 Fragen nur noch 2 richtig zu beantworten.
Außerdem sind nur noch 3 Auswahlmöglichkeiten pro Frage gegeben.
Dann ergibt sich:
(1) Wahrscheinlichkeiten:
Richtig: 1/3 pro Frage
Falsch: 2/3 pro Frage
P (2 richtig) = 1/3 * 1/3 = 1/9
P (3 falsch) = 2/3 * 2/3 * 2/3 = 8/27
(2) Kombinationen:
Für die erste richtige Antwort gibt es 5 Möglichkeiten, für die zweite nur noch 4, also:
5 * 4 = 20
Da die Reihenfolge egal ist, muß geteilt werden durch die Anzahl richtiger Lösungen, also durch 2:
5 * 4 / 1 * 2 = 20 / 2 = 10
Es gibt also 10 Kombinationen, um 2 Fragen aus 5 richtig zu beantworten.
Beleg:
1+2
1+3
1+4
1+5
(2+1) = 1+2
2+3
2+4
2+5
(3+1) = 1+3
(3+2) = 2+3
3+4
3+5
(4+1) = 1+4
(4+2) = 2+4
(4+3) = 3+4
4+5
(5+1) = 1+5
(5+2) = 2+5
(5+3) = 3+5
(5+4) = 4+5
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4+3+2+1+0 = 10 Möglichkeiten
Die eingeklammerten darf man nicht mitzählen, da sie zuvor schon berücksichtigt wurden.
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ERGEBNIS:
10 * 1/9 * 8/27 = 0,329218
Die Gesamtwahrscheinlichkeit beträgt also ca. 33%.
Für das Jahr 2020 eine schöne Perspektive für die Prüflinge...
).
