Zulassungs-Wahrscheinlichkeiten

[guglielmo]

Ich übernehme mal die Annahmen von Pikachu.

Gegeben:
102 Fragen davon mindestens 75 Fragen richtig.
4 Auswahlmöglichkeiten für jede einzelne Frage.

Fragestellung:
Wahrscheinlichkeit beim zufälligen Ankreuzen die Prüfung zu bestehen.

Annahmen zum Rechenmodell:
1. Die Fragen sind alle voneinander unabhängig. Daher mutliplizieren sich die Einzelwahrscheinlichkeiten. Für ein Prüfungsergebnis.
2. Unterschiedlichen Prüfungsergebnissen (Ereignissen) 75,76,77,...,102 Fragen richtig zu beantworten liegen unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten zurunde. Jedes dieser Ereignisse führt zum bestehen der Prüfung. Diese Ereignisse sind unabhängig voneinander und werden somit addiert.

Wahrscheinlichkeit eine Frage richtig zu beantworten:P(1)= Pe = 1/4
Wahrscheinlichkeit zwei Fragen richtig zu beantworten:P(2)= Pe^2=1/16
...
Wahrscheinlichkeit 75 Fragen richtig zu benatworten: P(75)=Pe^75 = (1/4)^75 Dies ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis, neben Anderen das zum bestehen der Prüfung führt.
Nun ein Überblick über sämtliche Ereignisse die zum bestehen der Prüfung führen:
P(75)=(1/4)^75
P(76)=(1/4)^76
P(77)=(1/4)^77
P(78)=(1/4)^78
...
P(102)=(1/4)^102

Die gesuchte Gesamtwahrscheinlichkeit berechnet sich aus: Pg=P(75)+P(76)+P(77)+...+P(102)=(1/4)^75+(1/4)^76+(1/4)^77+...+(1/4)^102=(1/4)^75*[1+1/4 +(1/4)^2 + (1/4)^3 +...+(1/4)^27]

Der letzte Ausdruck ist noch zu berechnen (Alter Trick C.F. Gauß).
S=(1/4)^0 + (1/4)^1 + (1/4)^2 + (1/4)^3+...+(1/4)^27
(1/4)*S=(1/4)^1 + (1/4)^2 + (1/4)^3 + (1/4)^4+...+(1/4)^27+(1/4)^28

(1/4)*S-S=(1/4)^28 - (1/4)^0 =>S=[(1/4)^28 - 1]/[1/4-1]=[1-(1/4)^28]/[1-1/4]

Allgemein:
S=[1-q^(n+1)]/[1-q]

Beweis durch vollst. Inuktion.
S(n)=[1-q^(n+1)]/[1-q]

Verankerung: n=0
S(1)=[1-q]/[1-q]=1 Verankerung stimmt.

Schritt auf n+1:
S(n+1)=[1-q^(n+2)]/[1-q] Laut Formel
S(n+1)=[1-q^(n+1)]/[1-q] + q^(n+1)=[1-q^(n+1)+q^(n+1)+q^(n+2)]/[1-q]=[1-q^(n+2)]/[1-q] Direkt berechnet.
Q.E.D.

Somit die Gesamtwahrscheinlichkeit die Prüfung zu bestehen, bei zufälligen ankreuzen.
Pg=(0,25)^75*[1-0,25^28]/[1-0,25] Das zu berechnen habe ich keine Lust. Zu langweilig.

[pikachu]

Für die Interessierten noch ein kleiner Kommentar zum Wetter (grundlegende Ausbildung gehört zur Flugausbildung).

Zum Thema Verläßlichkeit zunächst ein Zitat aus Wikipedia:

Heute ist eine Prognose für die kommende Woche ungefähr so zuverlässig, wie sie es vor dreißig Jahren für den nächsten Tag war. Die 24-Stunden-Vorhersage erreicht eine Eintreffgenauigkeit von gut 90 %. Die Treffsicherheit für die kommenden 3 Tage beträgt etwas mehr als 75 %.
Die Zuverlässigkeit schwankt jedoch sehr stark in Abhängigkeit von der Wetterlage. So ist es bei einer stabilen Winterhochdrucklage manchmal problemlos möglich eine Woche mit 90 % Sicherheit zu prognostizieren. Dagegen liegt die Prognosegüte bei einer instabilen Gewitterlage im Sommer oft deutlich unter 70 % für 24 Stunden. Ebenfalls muss man bei der Prognosegüte zwischen Temperatur und Niederschlag unterscheiden. Temperaturen können deutlich genauer als Niederschlag prognostiziert werden.

Jeder Pilot kennt diese Prognose-Ungenauigkeiten aus der Praxis. Ein weiteres großes Problem ist die Lokalität. Wetter ist immer eine regionale bzw. lokale Erscheinung. Je instabiler die Wetterlage ist, umso unmöglicher (!) wird die Prognose, wo genau (!) sich z.B. die Gewitterwolke entwickelt.

Je besser man Prognosen über eine Region/ein Gebiet erstellen möchte, umso mehr Meßstationen muß man unterhalten. Kachelmann wußte das schon lange und Meteomedia unterhielt viele kleine Stationen, während der DWD das lange nicht tat. Kachelmann konnte daher genauer die Stürme und damit verbundenen Schäden vorhersagen als der DWD, was letzterem riesige Kritik einbrachte:


http://www.focus.de/kultur/videos/kriti ... 12962.html

http://www.spiegel.de/panorama/gesellsc ... 94937.html

(und noch mehr)


Wikipedia schreibt zur fehlenden Verläßlichkeit:

Gründe für die fehlende Verlässlichkeit

Teilweise ist die Wettervorhersage nicht so verlässlich, wie die Allgemeinheit und verschiedene Fachgebiete es sich wünschen. Dies hängt vor allem mit zwei Ursachen zusammen:

der unvollständigen Kenntnis des tatsächlichen Geschehens in der Erdatmosphäre.
Was geschieht genau in der Atmosphäre? → Grundlagenforschung. Noch unverstandene Wetterphänomene müssen erforscht werden. Beispiel: Wie interagieren Eigenschaften des Bodens (Wärme, Feuchtigkeitsgehalt, Albedo) mit den tieferliegenden Luftschichten?
Wo und wann geschieht etwas in der Atmosphäre? → Nicht alle benötigten Daten werden erhoben, und wo sie erhoben werden, geschieht dies zwangsläufig mit Lücken. Beispiele: Nicht überall stehen Wetterstationen, Gebirgstäler werden von Wetterradars nicht immer abgedeckt, in Süddeutschland werden Wetterballons nur an zwei Orten eingesetzt (Stuttgart und München).
Wie geschieht etwas in der Atmosphäre? → Die tatsächlichen meteorologische Zusammenhänge müssen in ein genügend genaues rechnerisches Modell übersetzt werden. Diese reflektieren die jeweiligen Fortschritte in der Grundlagenforschung wie auch der Computer-Rechenkapazität.
der grundsätzlich nicht vorhersehbare Anteil des Wettergeschehens → Chaosforschung, Schmetterlingseffekt. Unter welchen Umständen resultiert eine kleine Ungenauigkeit im Wettermodell bzw. in den Messwerten in einer sehr ungenauen Prognose?

Aus Gründen der Rechenzeit und der großen anfallenden Datenmengen können die beteiligten Luft- und Wassermassen noch nicht mit zufriedenstellender Genauigkeit berücksichtigt werden. Es spielen zu viele einzelne Faktoren eine Rolle, deren Zusammenspiel man bis dato und auch in näherer Zukunft nicht vollständig analysieren kann. Daher machen lokale Einflüsse wie Gebirge und ihre unregelmäßig geformten Hänge, Effekte unterschiedlicher Einstrahlung durch „falsch“ berechnete Bewölkung, der Bewuchs (Wald zu Acker!) oder das Gestein so viel aus, dass die Treffsicherheit für die nächsten 4 bis 7 Tage erheblich sinkt. Keine der heute verwendeten Methoden reicht über zwanzig Tage in die Zukunft hinaus, so dass längere Vorhersagen z. B. saisonale Wetterprognosen unseriös sind und von den meisten Wetterberichterstattungen im Fernsehen und Radio auch gemieden werden.

Es existieren weltweit mehrere Rechenmodelle, die je nach Methode und Datenlage zu unterschiedlichen Ergebnissen kommen.

Kleiner Überblick:

http://www.wetterlinks.de/wetterkartenaktuell.html

Je nach Region kann mal das eine, mal das andere Modell besser zutreffen. Man muß also Modellrechnungen miteinander vergleichen.

Kachelmann bietet neuerdings hierzu vergleichende Prognosen an (Beispiel für Berlin):

https://kachelmannwetter.com/de/vorhers ... in/kompakt

============================

Resümee: Eine genaue und hinreichend zutreffende Wetterprognose für eine beliebige Region ist derzeit nur sehr bedingt möglich, bei instabilen Wetterlagen kaum bis gar nicht.

Wenn ich das mit Lottospielen vergleiche, dann müßte die Prognose in etwa so aussehen:

"Am kommenden Samstag werden voraussichtlich die Zahlen 1-5, sowie 6-25 gezogen. In manchen Regionen kann es aber auch vereinzelt zu Ziehungen von größer als 25 kommen."

[guglielmo]

@pikachu: War mir doch klar das Du das alles verstehst.

[JFK]

Wahrscheinlichkeit eine Frage richtig zu beantworten:P(1)= Pe = 1/4
Wahrscheinlichkeit zwei Fragen richtig zu beantworten:P(2)= Pe^2=1/16
...
Wahrscheinlichkeit 75 Fragen richtig zu benatworten: P(75)=Pe^75 = (1/4)^75 Dies ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis, neben Anderen das zum bestehen der Prüfung führt.
Nun ein Überblick über sämtliche Ereignisse die zum bestehen der Prüfung führen:
P(75)=(1/4)^75
P(76)=(1/4)^76
P(77)=(1/4)^77
P(78)=(1/4)^78
...
P(102)=(1/4)^102

Sorry, der Ansatz ist falsch

[JFK]

Ich war grad mal 3 Minuten fleißig und hab die korrekten Wahrscheinlichkeiten ausgerechnet (ohne die Vereinfachung alle drei Teile zusammenzufassen), da mich mal interessiert hat, wie groß die Abweichung ist.

Sodele, man muß ja bekanntermaßen drei Teile bestehen. Technik, Betrieb und Vorschriften.

Nötig zum Bestehen:
- Technik_A: mindestens 38 von 51 korrekt
- Technik_E: mindestens 25 von 34 korrekt
- Betrieb: mindestens 25 von 34 korrekt
- Vorschriften: mindestens 25 von 34 korrekt

Ergo errechnen sich die Wahrscheinlichkeiten zu:
P(Bestehe Technik_A Teilprüfung mittels Zufallsankreuzen) = P(X ≥ 38) = 1,682 * 10^(-13)
P(Bestehe Technik_E Teilprüfung mittels Zufallsankreuzen) = P(X ≥ 25) = 3,945 * 10^(-9)
P(Bestehe Betrieb Teilprüfung mittels Zufallsankreuzen) = 3,945 * 10^(-9)
P(Bestehe Vorschriften Teilprüfung mittels Zufallsankreuzen) = 3,945 * 10^(-9)

Was die Gesamtwahrscheinlichkeiten
P(Bestehe Klasse E Prüfung mittels Zufallsankreuzen) = 6,140 * 10^(-26)
P(Bestehe Klasse A Prüfung mittels Zufallsankreuzen) = 2,618 * 10^(-30)
ergibt.